sucesiones

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

                                                            Tipos de sucesiones  

                                                           Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes:

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

2, 2, 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4;...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2; 1/4 < 1/3;...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_n= k.

a_n = a_n+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ a_n ≤ K'

Sucesiones convergentes

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

                      Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

                    Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

                     Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

                        Divergentes      

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

                      Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)ⁿ n

                                                                    Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, , que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

                                                                         Sucesión de Fibonacci:

En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.