lunes, 18 de abril de 2011

sucesiones

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
3, 6, 9,..., 3n
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
                                                            Tipos de sucesiones  
                                                           Sucesiones monótonas


Sucesiones estrictamente crecientes:
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2, 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4;...
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2; 1/4 < 1/3;...
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an

Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'


Sucesiones convergentes
Límite = 0
Límite = 1


Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
                      Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
                    Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
                     Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.
                        Divergentes      
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.
                      Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n


                                                                    Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, , que llamaremos diferencia.
Por ejemplo:
es una progresión aritmética con diferencia d=4.

                                                                         Sucesión de Fibonacci:

En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 \ldots \,
La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.



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sábado, 19 de febrero de 2011

FUNCIÓN LINEAL:


Una ecuacion de la forma ax+bx+c. donde a,b,c,pertenecen a los numeros reales XyY variables  y tenemos una función lineal:
Ax –C   : Y .
B      B


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL:Para hacer la representación grafica primero despejamos la variable y simplificamos.
-Elaboramos una tabla de valores para la ecuacion que nos queda.
-Realizamos la gráfica ubicando los puntos o parejas en el plano cartesiano,luego unimos 2 puntos para obtener una recta.
NOTA:Cada función lineal representa una recta como gráfica en el plano cartesiano.
EJEMPLO:
Y:-2X+4
X
1
0
-1
-2
Y
2
4
6
8

Y:-2X+4.
F(X):-2(1)+4=2                             F(X):-2(0)+4=4            F(X):-2(-1)+4=6             F(X):-2(-2)+4=8
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funciones


DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: Una función es un proceso a través del cual se transforma un estado inicial, en un estado final deseado y tal proceso se conoce de antemano.
NOTACIÓN DE LAS FUNCIONES: Se denota como  f(x)y se lee efe de equis.
y=f(x): y es función de equis.
y=a variable dependiente.
x=a variable independiente.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: Para graficar una función utilizaremos el plano cartesiano y una tabla de valores que relaciona la variable dependiente con la independiente a través de la función.
FUNCIÓN CONSTANTE:   
En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable.

Una función constante es una función de la forma f(x) = b.  Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto  de los  números reales  y  el  recorrido el conjunto {b}.




EJEMPLO:

X
1
2
0
-1
-2
Y
-3
-3
-3
-3
-3



FUNCIÓN LINEAL:

Una ecuación de la forma ax+bx+c. donde a, b, c, pertenecen a los números reales y y x
      

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL:Para hacer la representación grafica primero despejamos la variable y simplificamos.
-Elaboramos una tabla de valores para la ecuacion que nos queda.
-Realizamos la gráfica ubicando los puntos o parejas en el plano cartesiano,luego unimos 2 puntos para obtener una recta.
NOTA:Cada función lineal representa una recta como gráfica en el plano cartesiano.
EJEMPLO:


X
3
2
1
0
-1
-2
Y
 6
4 
 2
 0
 -2
 -4


F(X):2X       F(X): 2*3:6      F(X):2*2:4   F(X):2*1:2   F(X):2*-1:-2   F(X):2*0:0   F(X):2*-2:-4

X
-1
0
1
2
3
4
Y
-7
-5
-3
-1
1
3



F(X):2X-5    F(X):2*-1(-5):-7   F(X):2*0(-5):-5    F(X):2*1(-5):-3   F(X):2*2(-5):-1  F(X):2*3(-5): 1
F(X):2*4(-5):3

FUNCION CUADRATICA:

Gráficas de funciones cuadráticas.
f(x) = ax^2 + bx + c \,
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:
y = f(x) \,
esto es:
y = ax^2 + bx + c \,
es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
EJEMPLO: 

x
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
y
9
4
1
0.25
0
0.25
1
4
9

f(x) = x2

f(x) = -3*-3:9                       f(x) = -1*-1:1                               f(x) =  0*0:0                              f(x) = 1*1:1                                                             
f(x) = -2*-2:4                      f(x) = -0.5*-0.5:0.25                    f(x) = 0.5*0.5:0.25               f(x) = 2*2:4
                                           f(x) = 3*3:9
FUNCION CUBICA:Función cúbica: La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, ; donde a es distinto de 0.
El domino y la imagen de esta función pertenecen a los números reales.
Para hallar las raíces:
Se iguala a cero:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,
Se factorea hasta dejar − x2 de un miembro
x^2 \; (ax + b) + (cx + d ) = 0\,
x^2 \; (ax + b) = -(cx + d) \,
x^2 = -\cfrac{cx + d}{ax + b}
-x^2 = \cfrac{cx + d}{ax + b}
Ésta última igualdad será la fórmula a utilizar.
EJEMPLO:








DOMINIO Y RANGO:  
 DOMINIO:Es el conjunto perteneciente a los reales  que puede tomar la X.
RANGO:Es el conjunto perteneciente a los reales  que puede tomar la Y.
Ejemplo  1:
y= \sqrt[ ]{x-4}

Forma de hacerlo: puesto que si la variable x tiene un valor menor a 4, el numero dentro de la raiz seria negativo y el resultado final seria un numero imaginario. con esto , si el valor mas pequeño que puede tener x=4 entonces y=0 despues de resolver la ecuacion.

dominio=[4, \infty ) .
rango=[ 0 ,\infty ) .

EJEMPLO DE DOMINIO :
                                                          √(X-5)   =   X-5≥0    V  X≥5

EJEMPLO:
                                                                      Y=((2)/(x-1))=

DOMINIO:x-1≠0

                                                                             X≠1

RANGO:(X-1)Y=2
XY-Y=2
XY=2+Y/Y
rango =a todos los reales menos el cero.

     








 INECUACIONES:Significa desigualdad. 
Una desigualdad presenta  un conjunto  de numeros  mientras que una igualdad  representa un solo numero.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos . La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.
 
  los corchetes:[ ], se utilizan cuando  queremos incluir un numero, en este caso el extremo de un intervalo.
Los paréntesis propiamente dichos: ( ),se utilza cuando no queremos incluir el extremo del intervalo. 


el infinito  o-  siempre  va con parentesis.
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